Старт
Старт

Вероятность комбинаций в покере

Введение

В этой статье мы постараемся рассмотреть вероятность собрать одну из покерных комбинаций основываясь на общих представлениях теории вероятностей. Для начала определимся с терминами.

C(n,k) - биноминальный коэффициент, или количество комбинаций k элементов из n. Все элементы уникальны и при выборке порядок элементов не учитывается, т.е. набор (a,b,c) эквивалентен (b,c,a).

C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

В нашем случае n равно 52, если выборка происходит из полной колоды, а k - это количество карт которые необходимо выбрать.

Вероятность события (P) - это величина, которая рассчитывается как отношение количества благоприятных исходов (m), к общему количеству из всех возможных (n).

P = m/n

В применении к карточным комбинациям можно утверждать, что вероятность той или иной комбинации равна отношению количества возможных способов составления данной комбинации к общему числу всех комбинаций карт.

Еще одной важной величиной в оценке вероятности являются - шансы (O от англ. Odds). Она связана с P и может быть легко рассчитана из нее (если известны m и n).

O_win  w : l (win : lose) шансы на победу
O_lose l : w (lose : win) шансы на проигрыш

сумма исходов событий на выигрыш и проигрыш дает общее количество:

n = w + l
m = w

если считать, что O это O_win и привести шансы на победу к 1 (поделив w : l на w), то получим:

O 1 : (n - w)/w или 1 : (n/w) - 1 или 1 : (n/m) - 1 или 1 : (1/P) - 1

Взаимный переход от шансов к вероятности и обратно зачастую бывает очень полезен для быстрой оценки ситуации, поскольку позволяет упростить расчеты.


Примеры расчета вероятностей

Применим на практике полученные знания. Какое количество комбинаций из 5 карт можно составить? Ответ: C(52,5) = 2 598 960. Для 7 карт оно будет равно C(52,7) = 133 784 560. В Техасском Холдеме игрок использует 7 карт для составления лучшей 5и карточной комбинации (5 на столе и 2 на руках).

Какое количество разнообразных начальных хендов из двух карт сущесвует? Ответ: C(52,2) = 1 326.

Таблица 1. Общее количество вариантов (C) для выбора (k) карт из 52 (n)
k C пример
1 52 выбор 1й карты из колоды
2 1326 хенды игроков
3 22100 флоп
4 270725 терн
5 2598960 ривер или выбора 5 карт
6 20358520 терн + хенд
7 133784560 ривер + хенд

Таким образом величина C в представленных выше примерах позволяет легко оценить общее количество возможных исходов. Для проведения расчетов P необходимо лишь вычислить число благоприятных.

В качестве примера можно рассчитать вероятность прихода заданной пары карт на префлопе (AA, KK и т.п.).

P = C(4,2)/C(52,2) = 0.004524886877 = 1/221 (0.45%)
O 1 : 220

С учетом того, что всего может быть 13 различных пар карт, общая вероятность прихода любой карманной пары составит:

P = (C(4,2)/C(52,2))*13 = 0.058823529411 = 1/17 (5.88%)
O 1 : 16

Расчет вероятностей комбинаций для пяти карт

Приведем аналогичные расчеты для всех покерных комбинаций, которые могут быть составлены из случайной выборки 5 карт из полной колоды.


Стрит-флеш

Существует всего 10 различных вариантов составить стрит:

Таблица 2. Различные варианты стритов
N пример
1 A 2 3 4 5
2 2 3 4 5 6
3 3 4 5 6 7
4 4 5 6 7 8
5 5 6 7 8 9
6 6 7 8 9 T
7 7 8 9 T J
8 8 9 T J Q
9 9 T J Q K
10 T J Q K A

и таких вариантов всего 4 (по одному для каждой масти), поэтому:

m = C(10,1)*C(4,1) = 40
 
P = m/n = C(10,1)*C(4,1)/C(52,5) = 1.5390771693e-05

Каре

В этом случае нам надо выбрать 4 карты одного номинала и одну карту из оставшихся. m выбора 4х одинаковых карт:

m(4) = C(13,1) = 13
Таблица 3. Возможные варианты каре
N пример
1 2 2 2 2
2 3 3 3 3
3 4 4 4 4
4 5 5 5 5
5 6 6 6 6
6 7 7 7 7
7 8 8 8 8
8 9 9 9 9
9 T T T T
10 J J J J
11 Q Q Q Q
12 K K K K
13 A A A A

последнюю оставшуюся карту мы можем выбрать 48 различными способами (4 из 52 карт уже выбраны). Или m для еще одной карты будет равно:

m(1) = C(48,1) = C(12,1)*C(4,1) = 48

в сочетании с любой оставшейся картой, общее число m будет:

m(4+1) = m(4)*m(1) = C(13,1)*C(12,1)*C(4,1) = 624
 
P = m(4+1)/n = C(13,1)*C(12,1)*C(4,1)/C(52,5) = 0.00024009603841

Фул-хаус

В этом случае есть 3 карты одной значимости и еще 2 карты так же одной значимости, но не равные первым трем.

Для составления первых 3 карт получим величину m равную:

m(3) = C(13,1)*C(4,3) = 52

уже не равно 13, поскольку (2h 2s 2d) и (2h 2s 2c) различаются между собой

Таблица 4. Варианты составления 3х карт одной значимости из 4х мастей ['h','s','c','d']
N пример
1 {"h", "s", "c"}
2 {"h", "s", "d"}
3 {"h", "c", "d"}
4 {"s", "c", "d"}

таким образом перемножение 13 вариантов карт одного номинала на 4 варианта выбора 3 карт из 4 мастей дают нам 52.

Для оставшихся двух карт получим:

m(2) = C(12,1)*C(4,2) = 72

поскольку нам осталось всего 12 карт не равных по номиналу первым трем в рамках одной масти, а вариантов выбора 2х карт из 4х мастей (C(4,2)) будет ровно 6, они представлены в таблице 5.

Таблица 5. Варинаты выбора 2х карт из 4х мастей ['h','s','c','d']
N пример
1 {"h", "s"}
2 {"h", "c"}
3 {"h", "d"}
4 {"s", "c"}
5 {"s", "d"}
6 {"c", "d"}

Общее число m для фул-хауса составит:

m(3+2) = m(3)*m(2) = C(13,1)*C(4,3)*C(12,1)*C(4,2) = 3744
 
P = m(3+2)/n = C(13,1)*C(4,3)*C(12,1)*C(4,2)/C(52,5) = 0.0014405762304

Флеш

В этом случае вычисление m очень просто, т.к. у нас есть 5 карт одной масти из 13 карт и 4х разных мастей. Но не стоит забывать про возможный Стрит-флеш, который надо исключить из конечных вариантов. Значение m равно:

m = C(13,5)*C(4,1) - m(straight_flush) = C(13,5)*C(4,1) - C(10,1)*C(4,1) = 5108
 
P = m/n = (C(13,5)*C(4,1) - C(10,1)*C(4,1))/C(52,5) = 0.001965401545

Стрит

Пять карт следующих по порядку (10 вариантов как было показано ранее, см. таблица2) разных мастей (из 4х), исключая Стрит-флеш.

m = C(10,1)*m(5) - m(straight_flush)

где m(5) - количество вариантов составления 5 карт из 4х разных мастей (4^5), или

m(5) = C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)*C(4,1) = C(4,1)^5

в конечном итоге значение m:

m = C(10,1)*C(4,1)^5 - C(10,1)*C(4,1) = 10200
 
P = m/n = (C(10,1)*C(4,1)^5 - C(10,1)*C(4,1))/C(52,5) = 0.003924646781

Что практически в два раза выше аналогичного значения P для флеша.


Тройка

Для последующих вариантов рассуждения в целом аналогичны вышеприведенным, поэтому не будем детально их расписывать, а просто приведем конечные формулы и расчеты.

Для трех карт одной значимости, мы получаем исходную выборку из 13 карт и 3х мастей из 4х и для двух оставшихся из 12 карт и всех мастей.

m = C(13,1)*C(4,3)*С(12,2)*C(4,1)*C(4,1) = 54912
 
P = m/n = C(13,1)*C(4,3)*С(12,2)*C(4,1)*C(4,1)/C(52,5) = 0.02112845138

Две пары

Две карты одного номинала и еще две карты тоже одного номинала, но не равного первым двум + одна любая карта, номинал которой не равен ни одной из первых 4х.

m = C(13,2)*C(4,2)*C(11,1)*C(4,2)*C(4,1) = 123552
 
P = m/n = C(13,2)*C(4,2)*C(11,1)*C(4,2)*C(4,1)/C(52,5) = 0.0475390156

Пара

Две парные карты + еще 3 других карты разных мастей, не равные первым двум.

m = C(13,1)*C(4,2)*C(12,3)*C(4,1)*C(4,1)*С(4,1) = 1098240
 
P = m/n = C(13,1)*C(4,2)*C(12,3)*C(4,1)*C(4,1)*С(4,1)/C(52,5) = 0.4225690276

Вероятность собрать пару при выборе случайных 5 карт близка к 50%, поэтому не стоит переоценивать свои силы, если ваша комбинация всего лишь пара карт одной значимости, которые к тому же не являются самыми крупными (такими как AA, KK, QQ).

Если у вас старшая пара из возможных вариантов для данного борда, то для принятия решения необходим учет дополнительных факторов (ставки противника, возможные ауты, размер банка, ваш стек и т.д.). В противном случае, особенно при большом количестве противников ваши шансы на выигрыш минимальны.

Ниже представлена сводная таблица, которая содержит расчетные данные для 5 карт.

Таблица 6. Вероятность выпадения комбинаций из пяти карт
название m P P (%) O
Стрит-флеш 40 1.5390771693e-05 0.0015390771693 1:64973
Каре 624 0.00024009603841 0.024009603841 1:4164
Фул-хаус 3744 0.0014405762304 0.14405762304 1:693
Флеш 5108 0.001965401545 0.1965401545 1:508
Стрит 10200 0.003924646781 0.3924646781 1:254
Тройка 54912 0.02112845138 2.112845138 1:46.3295
Две пары 123552 0.0475390156 4.75390156 1:20
Пара 1098240 0.4225690276 42.25690276 1:1.366477

Расчет вероятностей комбинаций для семи карт

В случае выбора и составления лучшей комбинации из 7 карт практически все рассуждения аналогичны приведенным для 5 карт, поэтому ограничимся итоговой таблицей с расчетами вероятностей, тем более что она является актуальной для Техасского Холдема, в котором учитываются 7 видимых игроком карт.

Таблица 7. Вероятность выпадения комбинаций из семи карт
название P (%) O
Стрит-флеш 0.0311 1:3589.6
Каре 0.168 1:594
Фул-хаус 2.6 1:37.5
Флеш 3.03 1:32.1
Стрит 4.62 1:20.6
Тройка 4.83 1:19.7
Две пары 23.5 1:3.26
Пара 43.8 1:1.28

Сравнение таблиц 6 и 7 показывает, что шансы собрать более высокую комбинацию в выборе из 7 карт существенно увеличиваются по сравнению с 5 картами.